非线性方程及非线性方程组的解法

题 8.1

设方程 $x^3-x^2-1=0$ 在 $x_0=1.5$ 附近的根为 $x^*$ 。

先由 $f(x)=x^3-x^2-1$ 有：

f(1.4)<0,\quad f(1.5)>0

故 $x^*\in(1.4,1.5)$ 。

对于 $\displaystyle \varphi_1(x)=1+\frac{1}{x^2}$ ，则：
$|\varphi_1'(x^*)| =\frac{2}{(x^*)^3} \lt \frac{2}{1.4^3} \lt 1$
故在 $x_0=1.5$ 邻近局部收敛。
对于 $\displaystyle \varphi_2(x)=(x-1)^{-1/2}$ ，则：
$|\varphi_2'(x^*)| =\frac{1}{2(x^*-1)^{3/2}} \gt \frac{1}{2(1.5-1)^{3/2}} \gt 1$
故在 $x_0=1.5$ 邻近局部发散。
对于 $\displaystyle \varphi_3(x)=(1+x^2)^{1/3}$ ，则：
$|\varphi_3'(x^*)| =\frac{2x^*}{3[1+(x^*)^2]^{2/3}}$
注意到在不动点处有 $1+(x^*)^2=(x^*)^3$ ，因此
$|\varphi_3'(x^*)| =\frac{2x^*}{3(x^*)^2} =\frac{2}{3x^*} \lt \frac{2}{3\times 1.4} \lt 1$
故在 $x_0=1.5$ 邻近局部收敛。

记：

F(x,y)=\begin{pmatrix} f_1(x,y)\\ f_2(x,y)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x^2+y^2-5\\ (x+1)y-3x-1\end{pmatrix}

Jacobi 矩阵为：

J(x,y)=\begin{pmatrix}2x&2y\\ y-3&x+1\end{pmatrix}

行列式：

\det J(x,y)=2(x^2+x-y^2+3y)

从而逆矩阵为：

J^{-1}(x,y)=\frac{1}{2(x^2+x-y^2+3y)} \begin{pmatrix} x+1&-2y \\ 3-y&2x \end{pmatrix}

Newton 迭代式中的增量：

\begin{pmatrix}\delta x\\ \delta y\end{pmatrix} =-J^{-1}(x_k,y_k)\,F(x_k,y_k)

代入 $(x_0,y_0)=(1,1)$ 得：

\begin{pmatrix}\delta x\\ \delta y\end{pmatrix} =-\frac{1}{8}\begin{pmatrix}2&-2\\ 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/4\\ 5/4\end{pmatrix}

从而：

(x_1, y_1)=(\frac{5}{4}, \frac{9}{4})

继续代入得：

\begin{pmatrix}\delta x\\ \delta y\end{pmatrix} =-\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 9/4& -9/2\\ 3/4& 5/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13/8\\ 5/16 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1/4\\ -2/9 \end{pmatrix}

从而：

(x_2, y_2)=(1, \frac{73}{36}) \approx (1, 2.0278)

假设 $x^{*}$ 为 $f(x)=0$ 的单根，记 $e=x-x^{*}$ 。将 $f$ 在 $x^{*}$ 处 Taylor 展开可得：

f(x) = ae+\frac{b}{2}e^{2}+\frac{c}{6}e^{3}+O(e^{4})

f'(x) = a+be+\frac{c}{2}e^{2}+O(e^{3})

f''(x) = b+ce+O(e^{2})

其中 $a=f'(x^{*}),\; b=f''(x^{*}),\; c=f'''(x^{*})$ 。从而：

\begin{aligned} \frac{f(x)}{f'(x)} &=\frac{ae+\frac{b}{2}e^{2}+\frac{c}{6}e^{3}+O(e^4)}{a+be+\frac{c}{2}e^{2}+O(e^3)} \\ &=[e+\frac{b}{2a}e^2+\frac{c}{6a}e^3+O(e^4)]\cdot[1-\frac{b}{a}e+(\frac{b^2}{a^2}-\frac{c}{2a})e^2+O(e^3)] \\ &=e-\frac{b}{2a}e^{2}+\left(\frac{b^{2}}{2a^{2}}-\frac{c}{3a}\right)e^{3}+O(e^{4}) \end{aligned}

\left[\frac{f(x)}{f'(x)}\right]^{2}=\left(e-\frac{b}{2a}e^{2}+O(e^{3})\right)^{2} =e^{2}-\frac{b}{a}e^{3}+O(e^{4})

\begin{aligned} \frac{f''(x)}{2f'(x)} &=\frac{b+ce+O(e^2)}{2(a+be+O(e^2))} \\ &=[\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a}e+O(e^2)]\cdot[1-\frac{b}{a}e+O(e^2)] \\ &=\frac{b}{2a}+\left(\frac{c}{2a}-\frac{b^2}{2a^2}\right)e+O(e^{2}) \end{aligned}

故：

\begin{aligned} g(x)-x^{*} &=e-\frac{f}{f'}-\frac{f''}{2f'}\left(\frac{f}{f'}\right)^{2}\\[4pt] &=e-\left[e-\frac{b}{2a}e^{2}+\left(\frac{b^{2}}{2a^{2}}-\frac{c}{3a}\right)e^{3}\right] -\left[\frac{b}{2a}e^{2}+\left(\frac{c}{2a}-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)e^{3}\right]+O(e^{4})\\ &=\left(\frac{b^{2}}{2a^{2}}-\frac{c}{6a}\right)e^{3}+O(e^{4}) \end{aligned}

也即：

g(x)-x^{*}=\left(\frac{f''(x^{*})^{2}}{2f'(x^{*})^{2}}-\frac{f'''(x^{*})}{6f'(x^{*})}\right)(x-x^{*})^{3}+O((x-x^{*})^{4})

令 $e_k=x_k-x^{*}$ ，则 $e_{k+1}=g(x_k)-x^{*}$ 。从而：

\lim_{x\to x^{*}}\frac{e_{k+1}}{e_k^{3}} =\lim_{x\to x^{*}}\frac{g(x_k)-x^{*}}{(x_k-x^{*})^{3}} =\frac{f''(x^{*})^{2}}{2f'(x^{*})^{2}}-\frac{f'''(x^{*})}{6f'(x^{*})}

在一般情形下该极限常数非零，故根据收敛阶定义，该方法为 3 阶收敛。